热力学第一定律与第二定律

热力学第一定律

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内容:

"During an interaction, energy can change from one form to another but the totla amount of energy remains constant."

闭系中循环的热一律表达形式:

$\oint \delta Q = \oint \delta W$

由此式推导出状态量$U$:

定义:

$$dU = \delta Q - \delta W$$ $$\begin{array}{rcl} \delta Q &=& dU + \delta W \\ Q &=& \Delta U + W \end{array}$$

而在绝热系中, $\delta W = -dU$
在绝功系中, $\delta Q = dU$

对于单位工质而言,可以得到一般式: $\delta q = du + \delta w$

这适用于任何工质和任何过程

闭系中能量方程

若只研究简单可压缩系的容积变化功,则上述$w$可以表示为:

准静态过程: $\delta w = p\,dv$ $q = \Delta u + \int p\,dv$

可逆过程: $\delta q = T\,ds$ $\int T\,ds = \Delta u + \int p\,dv$

开系中能量方程

推进功(Flow work)的概念:

• 推进功不是功,是能量,为状态量

对于单位工质: $W_{F} = pAdl = pV$ $w_{F} = pv$

那么用流率表示的开口系能量方程微分式如下:

$$\begin{array}{r} \dot{Q} = \frac{\mathrm{d} E_{\mathrm{cv}}}{\delta \tau} + \left(u + pv + \frac{c^{2}}{2} + gz\right)_{\mathrm{out}} \dot{m}_{\mathrm{out}} \\ - \left(u + pv + \frac{c^{2}}{2} + gz\right)_{\mathrm{in}} \dot{m}_{\mathrm{in}} + \dot{W}_{\mathrm{net}} \end{array}$$

其中 $c^{2}/2$ 为动能项, $gz$ 为势能项
有多个进出口时中间两项求各口和即可

为简化运算,定义状态量焓: $h = u + pv$

上式变为:

$$\begin{array}{r} \dot{Q} = \frac{\mathrm{d} E_{\mathrm{cv}}}{\delta \tau} + \left(h + \frac{c^{2}}{2} + gz\right)_{\mathrm{out}} \dot{m}_{\mathrm{out}} \\ - \left(h + \frac{c^{2}}{2} + gz\right)_{\mathrm{in}} \dot{m}_{\mathrm{in}} + \dot{W}_{\mathrm{net}} \end{array}$$

此为开口系能量方程. 对流动工质,焓代表能量,静止工质则不如此.

稳定流动能量方程

以下为系统的稳定流动条件:

1. $\dot{m}_{\mathrm{out}} = \dot{m}_{\mathrm{in}} = \dot{m}$
2. $\dot{Q} = \mathrm{Const}$
3. $\dot{W}_{\mathrm{net}} = \mathrm{Const} = \dot{W}_{s}$ , $\dot{W}_{s}$ 为轴功(Shaft Work)
4. $\mathrm{d}E_{C,V}/\delta\tau = 0$ , 每截面状态不变

满足以上条件,开系能量方程变为:

$$\begin{array}{r} \dot{Q} = \left(h + \frac{c^{2}}{2} + gz\right)_{\mathrm{out}} \dot{m}_{\mathrm{out}} \\ - \left(h + \frac{c^{2}}{2} + gz\right)_{\mathrm{in}} \dot{m}_{\mathrm{in}} + \dot{W}_{s} \end{array}$$

对单位工质将广延参数转化为比参数简化得:

$$q = \Delta h + \frac{1}{2}\Delta c^2 + g\Delta z + w_s$$

将后三项转化为工程上可直接利用的量技术功 $w_t$: $Q = m \Delta h + W_t \quad \Rightarrow \quad q = \Delta h + w_t$

这么做意义在于可以将闭系和稳定流动开系建立联系: $q = \Delta h + w_t \quad 等价于 \quad q = \Delta u + w$

对目前出现过的几种功建立联系:

$$\left\{\begin{array}{l} 容积变化功 & w \\ 技术功 & w_t \\ 轴功 & w_s \\ 推进功 & \Delta (pv) \end{array}\right.$$

$w = \Delta (pv) + w_t = \Delta h + \frac{\Delta c^{2}}{2} + g\Delta z - \Delta (pv) + \Delta (pv)$

一般情况下忽略动能与位能的变化,得到: $w_s \approx w_t$

对于准静态情形,以上联系显得更为优美: $w_t = -\int v\,dp$

于是可以得到准静态的两个热一律解析式:

$$\left\{\begin{array}{l} \delta q = du + p\,dv \\ \delta q = dh - v\,dp \end{array}\right.$$

应用

$Q = m \Delta h + W_s(W_t)$, 在 $Q \approx 0$ 时

透平机械

输出轴功靠焓降转变, $w_s = -\Delta h$
具体特征为小体积,大流量,具备保温层

压缩机械

输入轴功转化为焓升. 特征同透平机械