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实数公理化

发布于 3/23/2026, 11:46:03 AM

数学分析

1 实数集的定义

1.1 加法公理（Abelian Group under Addition）

实数关于加法构成阿贝尔群：

  1. 封闭性：a,b∈R  ⟹  a+b∈Ra,b\in\mathbb{R} \implies a+b\in\mathbb{R}
  2. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c)
  3. 交换律：a+b=b+aa+b = b+a
  4. 零元唯一存在：∃0∈R, ∀a∈R, a+0=a\exists 0\in\mathbb{R},\ \forall a\in\mathbb{R},\ a+0 = a
  5. 加法逆元存在：∀a∈R, ∃(−a)∈R, a+(−a)=0\forall a\in\mathbb{R},\ \exists (-a)\in\mathbb{R},\ a+(-a)=0

1.2 乘法公理（Abelian Group under Multiplication，不含0）

实数关于乘法（排除0）构成阿贝尔群，整体构成域：

  1. 封闭性：a,b∈R  ⟹  ab∈Ra,b\in\mathbb{R} \implies ab\in\mathbb{R}
  2. 结合律：(ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)
  3. 交换律：ab=baab = ba
  4. 幺元唯一存在：∃1∈R, 1≠0, ∀a∈R, a⋅1=a\exists 1\in\mathbb{R},\ 1\neq 0,\ \forall a\in\mathbb{R},\ a\cdot1 = a
  5. 乘法逆元存在（对非零元素）：∀a∈R∖{0}, ∃a−1∈R, aa−1=1\forall a\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\ \exists a^{-1}\in\mathbb{R},\ aa^{-1}=1
  6. 乘法对加法的分配律： a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+caa(b+c) = ab+ac,\quad (b+c)a = ba+ca

1.3 序公理（Ordered Field）

实数是一个有序域，存在全序关系 << 满足：

  1. 三分律：∀a,b∈R\forall a,b\in\mathbb{R}，恰有以下之一成立： a<b或a=b或b<aa < b \quad \text{或}\quad a = b \quad \text{或}\quad b < a
  2. 传递性：a<b, b<c  ⟹  a<ca < b,\ b < c \implies a < c
  3. 加法保序：a<b  ⟹  a+c<b+c, ∀c∈Ra < b \implies a+c < b+c,\ \forall c\in\mathbb{R}
  4. 乘法保序（正元素乘法）：a<b, 0<c  ⟹  ac<bca < b,\ 0 < c \implies ac < bc

由此可定义正元素集 R+={x∈R∣0<x}\mathbb{R}^+ = \{x\in\mathbb{R} \mid 0 < x\}，以及常用的符号 ≤, >, ≥\leq,\ >,\ \geq。

1.4 完备性公理（Completeness Axiom）

实数系具有最小上界性质：

∀S⊆R,(S≠∅ ∧ S 有上界)  ⟹  ∃sup⁡S∈R\forall S\subseteq\mathbb{R},\quad \left( S\neq\emptyset\ \wedge\ S\ \text{有上界} \right) \implies \exists \sup S\in\mathbb{R} \quad

上确界的具体定义:

(s=sup⁡X):=∀x∈X ((x≤s)∧(∀s′<s ∃ x′∈X(x′<i′)))\left ( s= \operatorname{sup}X \right ) :=\forall x \in X \ ((x\le s)\wedge (\forall s' < s \ \exists \ x' \in X (x' < i')))

以上四组公理及推论共同构成了实数域ℝ的唯一同构表示。

2 实数类与实数运算

2.1 数学归纳原理

X⊂R,∀x∈X,x+1∈X,该集合X称为归纳集X\subset \mathbb{R} ,\forall x \in X,x+1 \in X,该集合X称为归纳集

数学归纳原理

(E⊂N)∧(0,1∈E)∧(x∈E⇒(x+1)∈E)⇒E=N(E \subset \mathbb{N})\wedge(0,1\in E)\wedge(x \in E \Rightarrow (x+1)\in E)\Rightarrow E = \mathbb{N}

2.2 有理数与无理数

代数数与超越数,代数数可用多项式刻画